Understanding the Concept of Current Infinity and its Relationship to Real Functions: Infinity and the Van-Hiele Model
Abstract
This article arises from the reflection of the research’s partial results: the concept of current infinity in the framework of the model of van Hiele. The purpose was to describe the understanding of three students of eleven grade in an Official Colombian Educational Institution, facing the concept of current infinity and its relationship with real variable functions. For this, an instrument of permanent inquiry was designed, consisting of a semi-structured interview of a Socratic nature. To validate the instrument, hypothetical descriptors were proposed that, refined during the research process, contributed to obtain the final descriptors, to design the final interview and, through it, in the light of van Hiele’s model, recognize and classify the students’ level of understanding against the concept under consideration. About the methodological development, the qualitative approach was adopted, with a case study, which seeks to transform reality in a particular educational context, with the inten- tion of producing practical knowledge that can be generalized.
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References
R. Cantoral, Pensamiento y lenguaje variacional en la introducción al análisis. México: Trillas, 2005.
G. Cantor, Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers. Republication of the original translation of 1915. Nueva York: Dover Publication Inc, 1955.
C. Dolores y M. del S. Valero, "Estabilidad y cambio de concepciones alternativas acerca del análisis de funciones en situación escolar", en Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, vol. 17, 2004, pp. 355-361.
F. Gutiérrez y D. Prieto, Mediación pedagógica. Apuntes para una educación a distancia Buenos Aires: Cic-cus-La Crujía, 1999.
P. Esteban, Estudio comparativo del concepto de aproximación local a través del modelo de van Hiele, Tesis doctoral, Universidad Politécnica de Valencia, Valencia. España, 2003.
S. Zapata y Z. Sucerquia, "Módulo de aprendizaje para la comprensión del concepto de serie de términos positivos", Tesis doctoral, Departamento de Educación Avanzada, Universidad de Medellín, Medellín, Colombia, 2009.
F. Londoño, C. Jaramillo y P. Esteban, "Estudio comparativo entre el modelo de van Hiele y la teoría de Pi- rie y Kieren. Dos alternativas para la comprensión de conceptos matemáticos", Rev. Logos Cienc. Tecnol., vol. 9, n.o 2, pp. 121-133, 2017. https://doi.org/10.22335/rlct.v9i2.451
R. Rendón y R. Londoño, "La comprensión del concepto de continuidad en el marco de la teoría de Pirie y Kieren", Uni-Pluriversidad, vol. 13, n.° 3, pp. 109-118, 2014.
T. Ibarra, Relaciones proporcionales entre segmentos en el contexto del modelo de van Hiele, Tesis de maestría, Departamento de Educación, Universidad de Antioquia, Medellín, Colombia, 2014.
J. Llorens y M. Prat, "Extensión del Modelo de van Hiele al concepto de área", Rev. Virtual Univ. Católica Norte, vol. 45, pp. 113-128, 2015.
J. Prieto-Sánchez, Estudio del infinito actual como identidad cardinal en estudiantes de educación secundaria de 13 a 16 años, Tesis doctoral, Departamento de Didáctica de las Matemáticas, Universidad de Málaga, Málaga, España, 2015.
A. Mena, J. Mena, E. Montoya, A. Morales y M. Parra-guez, "El obstáculo epistemológico del infinito actual: persistencia, resistencia y categorías de análisis", Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, vol. 18, n. 3, pp. 329-358, 2015. http:// dx.doi.org/10.12802/relime.13.1832
M. Garelik, "El infinito: problemas para el aprendizaje en un tema de cálculo", Revista Premisa, vol. 18, n.° 68, 2016.
R. Vicent, "Nociones del infinito en futuros profesores de matemática", Areté, vol. 4, n.° 8, pp. 61-85.
E. Lévinas, Totalidad e infinito. Ensayo sobre la exterioridad, Salamanca: Sígueme-Hermeneia, 2002.
M. Gardella, "El testimonio de Aristóteles sobre Ze- nón de Elea como un detractor de 'lo uno'", Eidos, vol. 23, pp. 157-181, 2015. https://doi.org/10.14482/eidos.23.191
P. Lestón, Ideas previas a la construcción del infinito en escenarios no escolares, Tesis de Maestría, Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada, México, México, 2007.
A. Keliner, El cambio basado en el aprendizaje. Realidades sobre la transformación, México: Oxford University Press, 2000.
I. Kidron y D. Tall, "The roles of visualization and symbolism in the potential and actual infinity of the limit process", Educ. Stud. Math., vol. 88, n.o 2, pp. 183- 199, 2015. https://doi.org/10.1007/s10649-014-9567-x
S. Jato, El infinito en las matemáticas de la enseñanza secundaria, Tesis de Maestría, Universidad de Cantabria, Santander, España, 2012.
J. Belmonte, M. Martínez y S. Sierra, "Modelos intuitivos del infinito y patrones de evolución nivelar", Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, vol. 14, n.o 2, pp. 139-171, 2011.
J. Belmonte, Modelos intuitivos y esquema conceptual del infinito en estudiantes de educación primaria, secundaria obligatoria, bachillerato y universidad, Tesis doctoral, Didáctica de las Matemáticas, Universidad de Salamanca, 2009.
D. Arrigo y S. Sbaragli, Infiniti Infiniti. Bogotá: Tren- to-Erickson Magisterio, 2011.
G. Arrigo y B. D'Amore, "Lo veo, pero no lo creo. Obstáculos epistemológicos y didácticos para la comprensión del infinito actual", Educación Matemática, vol. 11, n.° 1, pp. 2-24, 1999.
A. Palacios, P. Barcia, J. Bosch y N. Otero, Los matematicuentos. Presencia matemática en la literatura. Argentina: Serie Eureka, 1995.
S. Roa y A. Oktaç, "El infinito potencial y actual: descripción de caminos cognitivos para su construcción en un contexto de paradojas", Revista Educación Ma- temática, vol. 26, n.° 1, pp. 73-101, 2014.
A. Hoffer, "Van Hiele based research". En Adquisition of mathematics concepts and processes, R. Lesh y M. Landau, Eds. Nueva York: AcademicPress, 1983, pp. 205-227.
D. Fuys, An investigation of the van Hiele model of thinking in geometry among adolescents, Nueva York: Brooklyn College, 1985. https://doi.org/10.1177/0013124585017004008
J. Gutiérrez y A. Jaime, Una propuesta de fundamentación para la enseñanza de la geometría: el modelo de van Hiele, Alfar (Sevilla): Teoría y Práctica en Educación Matemática, 1990.
J. Llorens, Extensión del modelo de van Hiele a un ámbito diferente de la geometría en niveles educativos elementales, Tesis doctoral, Matemáticas, Universidad Politécnica de Valencia, Valencia, España, 1995.
R. Antezana, U. Cayllahua, E. Yalli y A. Rojas, "Modelo van Hiele y software GeoGebra en el aprendizaje de estudiantes en áreas y perímetros de regiones poligonales. Horizonte de la Ciencia [En línea], vol. 10, n.° 18, 2020. https://doi.org/10.26490/uncp.horizonteciencia.2020.18.418
S. Sarrín, "Rotaciones y niveles de razonamiento, según el modelo de van Hiele: resultados de una experiencia. Educación, vol. 28, n.° 54, pp. 127-158, 2019. https://doi.org/10.18800/educacion.201901.007
A. Moreno, Mejorar las competencias matemáticas en los profesores de la enseñanza primaria de Porto Amboim, Cuanza Sur Angola. Una propuesta metodológica para la enseñanza de la geometría basada en el modelo de van Hiele y fundamentada en el uso de las TIC, Tesis doctoral, Departamento de Didáctica y Organización Escolar, Universidad de Granada, Granada, España, 2017.
M. Venegas, Niveles de razonamiento geométrico de van Hiele al resolver problemas geométricos: un estudio con estudiantes de 13 a 16 años en Cantabria, Tesis de maestría, Matemáticas, Universidad de Cantabria, España, 2015.
P. Esteban y J. Llorens, "Aspectos comparativos en la extensión del modelo de van Hiele al concepto de aproximación local", Suma, vol. 44, pp. 45-52, 2003.
C. Jaramillo, La noción de serie convergente desde la óptica de los niveles de van Hiele, Tesis doctoral, Universidad Politécnica de Valencia, España, 2000.
A. de la Torre, La modelización del espacio y del tiempo. Su estudio vía el modelo de van Hiele, Tesis doctoral, Universidad Politécnica de Valencia, España, 2000.
P. Esteban, Estudio comparativo del concepto de aproximación local a través del modelo de van Hiele, Tesis doctoral, Universidad Politécnica de Valencia, España, 2000.
Z. Santa, La elipse como lugar geométrico a través de la geometría del doblado de papel en el contexto de van Hiele, Tesis de maestría, Departamento de Educación Avanzada, Universidad de Antioquia, Medellín, Colombia, 2011
M. Prat, Extensión del modelo de van Hiele al concepto de área, Tesis doctoral, Departamento de Matemática Aplicada, Universidad Politécnica de Valencia, España, 2015.
E. Sucerquia, R. Londoño y C. Jaramillo, "El teorema fundamental del cálculo en la educación a distancia online", en VI Congresso Internacional de Ensino da Matemática - Ciem - Ulbra Canos /RS - Brasil, 2013, pp. 1-16.
C. Jaramillo y P. Campillo, "Propuesta teórica de entrevista socrática a la luz del modelo de van Hiele". Divulgaciones Matemáticas, vol. 9, n.° 1, pp. 65-84, 2001.
R. Hernández, C. Fernández y M. Baptista, "Metodología de la investigación", 6.a ed. México: McGraw-Hi- ll, 2014.
C. Sandoval, Investigación cualitativa. Bogotá: Icfes, 2002.
C. Jaramillo, R. Londoño y H. Jurado, Una metodología alternativa para la comprensión de la noción de límite. El caso de la convergencia de series de términos positivos. Madrid: Editorial Académica Española, 2012.
A. De la Torre, "El método socrático y el modelo van Hiele", Lecturas Matemáticas, vol. 24, n.° 2, pp. 99-121, 2003.
P. Suárez, El aprendizaje de la geometría fractal, Tesis doctoral, Educación, Rudecolombia, Tunja, Colombia, 2011.
A. Gamboa y J. Vargas, "El modelo van Hiele y la enseñanza de la geometría", Uniciencias, vol. 27, N.° 1, pp. 81-83. 2013.
J. Land, Appropriateness of the van Hiele model for describing students ́ cognitive processes on algebra tas- ks as typified by college students ́ Learning of Functions. Boston: University of Boston, 1991.
